大人は楽しい

ベンフォード

「賭けをしないか」

  「どんな賭け?」

「俺はおまえの財布にいくら現金が入ってるか知らないよな」

  「まあ知らないだろうね」

「俺はその額を予想する。ただし、さすがにピタリと当てるのは無理だから、一番大きい位の数を当てる。1,000〜9,999円だったら千の位、10,000〜99,999円だったら一万の位を当てるわけだ」

  「つまり、もし俺の財布に98,765円入ってたら、9が正解ってことだよな」

「そうそう。最大の位が0になることはないから、1〜9までの9つの中から1つ選ぶわけだ。1で始まる数も9で始まる数も同じだけあるから、最大の位が1になる確率も9になる確率も同じ。どれか1つを選べば、当たる確率は9分の1。だよな?」

  「そういうことになるな」

「9分の1を当てようっていうわけだから、掛け金が同じだと不公平だよな。ほんとは1:8が公平なんだけど、俺が言い出した賭けだから1:5でいいよ。もしも一番大きい位の数を俺が見事に当てることができたら、おまえは俺に5,000円払う。外れたら、俺がおまえに1,000円払う」

  「なるほど。ってことは、
   おまえの期待値は、1/9×5000+8/9×(-1000) = -333 (円)
   俺の期待値は、1/9×(-5000)+8/9×1000 = 333 (円)
   俺のほうがちょっと有利になるわけだな。よし、その賭け、のった!」

「ようし。賭け成立。じゃあ当てるぞ……。
 う〜ん……。わかった、1だ!」

  「1だな。ようし、待ってろよ。今から数えるからな」

-------------------------------------------------------------

「いくらだった?」

  「185円……」

「少ねぇ!」

  「今、ピンチなんだよ」

「でも最大の位の数は1だから、この賭けは俺の勝ちだな」

  「なんか引っかかるなあ……。イカサマしたんじゃねえの?」

「俺がおまえの財布の中身を変えられるわけないだろ」

  「じゃあはじめからいくら入ってるか知ってたとか」

「知らないよ。まあ、ちょっとした嘘はついたけどね」

  「嘘? なんだよ嘘って」

「さっき俺は、最大の位が1になる確率も9になる確率も同じだって言っただろ? あれが嘘だったんだよ」

  「えっ。一緒だろ。だって、たとえば1から1000まで数えたら、最大の位が1の数は112個、最大が2なのは111個……、最大が9なのは111個。まあほんのちょっとだけ1が多いけど、ほとんど一緒じゃないか」

「1から1000までだったらな。でも1から200までだったらどうなる?」

  「最大が1の数は111個、最大が2の数は12個、最大が3の数は11個……」

「なっ。圧倒的に1が多いだろ」

  「ああ、なんとなくわかってきた」

「1から300までだったら、1ではじまる数と2ではじまる数が多くなる。1から400だったら、1、2、3ではじまる数が多くなる」

  「ほうほう」

「1から1000までで考えたらどの数字もほぼ同じだけど、でもそこに至るまでの確率の平均は同じじゃないんだよ」

  「なるほどなあ」

「無限個の数で考えたら、最大が1になる確率も9になる確率も同じだけどな。でも財布に入っているお金は無限じゃないからな」

  「無限だったらいいけどな」

「まあ理想はね。とにかく、有限の数字をみた場合、1ではじまる数が多いんだよ。詳しい説明は省くけど、n(1≦n≦9)からはじまる数字の存在確率は、log10(1+1/n) で求められる。実際に計算してみると、自然界に存在する任意の数が1ではじまる確率は約30%、2ではじまる確率は約17%、9ではじまる確率はたったの4%くらいしかないんだよ」

  「なるほどねえ。自然界にある数の半分近くは1か2ではじまってるんだね」

「財布の中の額が1ではじまる確率は30%だから、1:5にしても十分俺のほうが有利だったってわけ」

  「そうかあ。騙されたあ」

「さあ、約束通り5,000円払ってくれよ」

  「ずるい! 嘘をついてたんじゃないか」

「騙されるほうが悪いんだよ。勉強になっただろ。授業料だと思って諦めな。さあ、5,000円」

  「でも……」

「まだ何かあるのかよ」

  「俺の財布には185円しか入ってないんだよ」
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by uso8000000 | 2008-12-27 20:30 | カルチュア

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